Question

四边形ABCD是正方形动点P在射线DB上运动动点H在射线CB上运动是否存在AP⊥PH且AP=PH若在说明理由若不在说明

Answer 1

在射线 DB 上存在一点 P ,在射线 CB 上存在一点 H .

使得 AP ⊥ PH ,且 AP = PH 成立,证明如下:

当 点 P 如图① 所示位 置时,不妨设 PA = PH ,过点 P 作 PQ ⊥ BC ,PM ⊥ CD ,PN ⊥ AD ,垂足分别为 Q,M ,N .

若 PA = PH .由 PM = PN 得:

AN=PQ ,∴ Rt△PQH ≌ Rt△ APN

∴∠HPQ = ∠PAN .

又 ∠PAN + ∠APN = 90°

∴∠APN + ∠HPQ = 90°

∴ AP ⊥ PH .

当点 P 在如图②所示位置时,

过点 P 作 PM ⊥ BC ,PN ⊥ AB ,

垂足分别为 M ,N .

同理可证 Rt△PMH ≌ Rt△PAN .

∠MHP = ∠NAP .

又 ∠MHP = ∠HPN ,

∠HPA = ∠NPA + ∠HPN = ∠MHP + ∠HPM = 90° ,

∴ PH ⊥ PA .

当 P 在如图③所示位置时,

过点 P 作 PN ⊥ BH ,垂足为 N ,PM ⊥ AB 延长线,垂足为 M.

同理可证 Rt△PHM ≌ Rt△PMA .

∴ PH ⊥ PA .