Question

设函数f(x)的一个原函数是xlnx-x,则∫e的2x次方f'(e的x次方)dx=e的x次方+C

Answer 1

f(x)=(xlnx-x)'=lnx

则

f(e^x)=x

所以

∫e^(2x)f'(e^x)dx

=∫e^xd[f(e^x)]

=∫(e^x)dx

=e^x+C

你原来的【f'(e^x)=1】这一步不合理,

因为原本 f(x)=lnx,

将自变量换为 e^x 之后得到 f(e^x)=x

此时,若要求 f'(e^x) 应得到的是 f'(e^x)=1/x,

因为是函数 f(e^x) 对x的导数,而不是对 t=e^x 整体的导数,

问题就出在这里.