Question

已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC边的中点,EF为AB,AC边上两动点,且点E从A出发,沿射线AB运动,

Answer 1

第一个问题：

△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形.

［证明］

∵AB＝AC、AB⊥AC、BD＝CD,∴∠EAD＝∠DCF＝45°、AD＝CD.

∵E、F分别从A、C出发且速度相同,∴AE＝CF.

由AE＝CF、AD＝CD、∠EAD＝∠DCF,得：△ADE≌△CDF,∴DE＝DF、∠AED＝∠CFD.

∵∠AED＝∠CFD,∴A、E、D、F共圆,而∠EAF＝90°,∴∠EDF＝90°.

由DE＝DF、∠EDF＝90°,得：△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形.

第二个问题：

（1）中的结论仍然是成立的,即：△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形.

［证明］

∵AB＝AC、AB⊥AC、BD＝CD,∴∠EAD＝∠DCF＝45°、∠ADB＝∠CDA＝90°、AD＝CD.

∵E、F分别从A、C出发且速度相同,∴AE＝CF.

由AE＝CF、AD＝CD、∠EAD＝∠DCF,得：△ADE≌△CDF,∴DE＝DF、∠ADE＝∠CDF.

显然有：∠ADE＝∠ADB＋∠BDE、∠CDF＝∠CDA＋∠ADF,而∠ADE＝∠CDF,

∴∠BDE＝∠ADF,∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.

由DE＝DF、∠EDF＝90°,得：△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形.