Question

已知数列[1/1×3]，[1/3×5]，[1/5×7]，…[1(2n−1)(2n+1)，设其前n项和为Sn．

Answer 1

解题思路：（1）直接计算即可得出S₁，S₂，S₃，S₄；

（2）由（1）猜想

S

n

＝

n

2n+1

．由

1

(2n−1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)

，利用“裂项求和”即可证明．

（1）S1＝

1/3]，S2＝

1

3+

1

3×5=[2/5]，S₃=[2/5+

1

5×7]=[3/7]，S4＝

3

7+

1

7×9=[4/9]．

（2）由（1）猜想Sn＝

n

2n+1．

证明：∵[1

(2n−1)(2n+1)＝

1/2(

1

2n−1−

1

2n+1)，

∴S_n=

1

2[(1−

1

3)+(

1

3−

1

5)+…+(

1

2n−1−

1

2n+1)]=

1

2(1−

1

2n+1)=

n

2n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查了“计算--猜想--证明”的方法、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于基础题．