Question

（2014•玉林）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与A

Answer 1

解题思路：（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；

（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得3²+x²=（x+1）²，解得x=4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG．

（1）证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠2+∠C=90°，

而OC⊥OB，

∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠2；

（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，

∵∠1=∠2，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD²+DE²=OE²，

∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴[OD/AG]=[DE/AE]，即[3/AG]=[4/3+5]，

∴AG=6．

点评：

本题考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．