Question

设z为复数,且|z|=1,求u=|z^2-z+1|的最大、最小值

Answer 1

z=cosa+isina

z^2-z+1=(cosa)^2-(sina)^2+2isinacosa-cosa-isina+1

=cos2a+isin2a-cosa-isina+1

=(cos2a-cosa+1)+i(sin2a-sina)

u^2=(cos2a-cosa+1)^2+(sin2a-sina)^2

=(cos2a)^2+(cosa)^2+1-2cosacos2a+2cos2a-2cosa+(sin2a)^2+(sina)^2-2sinasin2a

=3-2(cosacos2a+sin2asina)+2cos2a-2cosa

=3-2cos(2a-a)+2cos2a-2cosa

=3-4cosa+2cos2a

=3-4cosa+4(cosa)^2-2

=4(cosa)^2-4cosa+1

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