Question

（2014•广西模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3且S5-2a1=17．等比数列{bn}中，b1=a2

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据等差数列的性质和条件求出S₅的值，代入条件中的式子求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式a_n化简，再由等比数列的通项公式和条件求出公比，代入等比数列的通项公式求出b_n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件求出c_n的代数式，利用错位相减法求出T_n．

（Ⅰ）∵等差数列{a_n}中的a₃=3，

∴S₅=

5(a1+a5)

2=5a₃=15，

代入S₅-2a₁=17得，a₁=-1，由a₃=3得，公差d=2，

则a_n=-1+2（n-1）=2n-3，

∵b₁=a₂，b₂S₃=6，

∴b₁=1，且3b₂=6，得b₂=2，即公比q=2，

则b_n=2^n-1，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=a_n+1b_n=（2n-1）•2^n-1，

∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1，①

则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②

①-②得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ

=1+2×

2(1−2n−1)

1−2）-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）2ⁿ-3，

∴T_n=（2n-3）2ⁿ+3．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列的性质、通项公式，等比数列的通项公式、前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，关键是判断出数列的通项公式的特点，再利用错位相减法求数列的和，这是高考常考的题型．