解题思路:因为8=7+1=(1+1)×(3+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1),另外,此题要求这个自然数的个位是零,它必须含有质因数2和5,不能只有一个指数为7的质因数,所以这个约数的个数8只能写成:(1+1)×(3+1)或(1+1)×(1+1)×(1+1);据此解答.
根据分析可得,
因为8=7+1=(1+1)×(3+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1),
又因为这个自然数必含2,5这两个不同的质因数,又要求最小,8只能写成:(1+1)×(1+1)×(1+1);
所以这个自然数应为:2×3×5=30;
答:个位是零又有8个约数的最小自然数是30.
点评:
本题考点: 约数个数与约数和定理.
考点点评: 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式的灵活应用:a=pα×qβ×rγ(其中a为合数,p、q、r是质数),则a的约数共(α+1)(β+1)(γ+1)个约数.
知识链接:n个不同质数相乘的积约数个数为2n,质数的平方的约数只有三个,完全平方数的约数个数是奇数,非完全平方数的约数个数是偶数,应用这些知识,我们可以解决许多问题.