Question

设f（x）满足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤[π/2]）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知，用sinx代替-sinx，得到关于f（sinx）方程组，求出f（sinx），即得f（x）；

（2）求出0≤x≤1时f（x）的最大值以及对应的x的值即可．

（1）∵f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx…①，

∴f（sinx）+3f（-sinx）=-4sinx•cosx…②；

①×3-②得，

8f（sinx）=16sinx•cosx，

又∵|x|≤[π/2]，

∴cosx=

1−sin2x，

∴f（x）=2x

1−x2（-1≤x≤1）；

（2）∵对0≤x≤1，把函数f（x）=2x

1−x2化为

f（x）=2

x2(1−x2)=2

−x4+x2=2

−(x2−

1

2)2+

1

4，

令x²=[1/2]，则x=

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了求函数最值的问题，解题时应用方程思想，求出方程组的解，是中档题．