Question

（2013•北京）给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当i=1时，A₁=3，B₁=1，从而可求得d₁，同理可求得d₂，d₃的值；

（Ⅱ）依题意，可知a_n=a₁q^n-1（a₁＞0，q＞1），由d_k=a_k-a_k+1⇒d_k-1=a_k-1-a_k（k≥2），从而可证

d

k

d

k-1

（k≥2）为定值．

（Ⅲ）依题意，0＜d₁＜d₂＜…＜d_n-1，可用反证法证明a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列；再证明a_m为数列{a_n}中的最小项，从而可求得是a_k=d_k+a_m，问题得证．

（Ⅰ）当i=1时，A₁=3，B₁=1，故d₁=A₁-B₁=2，同理可求d₂=3，d₃=6；

（Ⅱ）由a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a₁＞0，则{a_n}的通项为：a_n=a₁q^n-1，且为单调递增的数列．

于是当k=1，2，…n-1时，d_k=A_k-B_k=a_k-a_k+1，

进而当k=2，3，…n-1时，

dk

dk-1=

ak-ak+1

ak-1-ak=

ak(1-q)

ak-1(1-q)=q为定值．

∴d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；

（Ⅲ）若d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，则0＜d₁＜d₂＜…＜d_n-1．

先证明a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列．

否则设a_k是第一个使得a_k≤a_k-1成立的项，则A_k-1=A_k，B_k-1≤B_k，因此d_k-1=A_k-1-B_k-1≥A_k-B_k=d_k，矛盾．

因此a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列…①

再证明a_m为数列{a_n}中的最小项，否则设a_k＜a_m（k=1，2，…n-1），显然k≠1，否则d₁=A₁-B₁=a₁-B₁≤a₁-a₁=0，与d₁＞0矛盾；

因而k≥2，此时考虑d_k-1=A_k-1-B_k-1=a_k-1-a_k＜0，矛盾．

因此a_m为数列{a_n}中的最小项，…②

综合①②d_k=A_k-B_k=a_k-a_m（k=1，2，…n-1），于是a_k=d_k+a_m，也即a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．