Question

一条斜率为1的直线l与离心率为根号3双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,交于P,Q两点,l与y轴交于R,

Answer 1

由3=e2=1得b2=2a2,双曲线方程设为①

设直线的方程为y=x＋m,代入①得

2x2－(x＋m)2=2a2,即x2－2mx－(m2＋2a2)=0,

设P（x1, y1）,Q(x2,y2), 则x1＋x2=2m, x1x2=－m2－2a2,

又y1y2-=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－m2－2a2＋2m2＋m2=2(m2－a2)

∴4a2－m2－3=0 ②

∵,∴点R分所成的比为3,设点R的坐标为（0,m）,则

∴x1=－3x2,代入x1＋x2=2m得x2=－m,x1=3m,

代入x1x2=－m2－2a2,得－3m2=－m2－2a2,∴m2=a2.

代入②得a2=1,从而m=±1.

∴直线l的方程为y=x±1,双曲线的方程为