解题思路:由圆C的方程找出圆心C的坐标及圆的半径r,设光线l与y轴的交点为Q,点P关于y轴的对称点为P′,根据与y轴对称点的特点写出P′的坐标,由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线,且为圆C的切线,设直线P′Q的斜率为k,由P的坐标表示出直线P′Q,根据光线l经y轴反射后与圆C相切,得到圆心到直线P′Q的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,再由由光线l与P′Q关于y轴对称可得光线l的斜率,最后由P的坐标及求出的光线的斜率写出光线l的方程即可.
由圆C:(x-4)2+(y-4)2=1,得到圆心C(4,4),半径r=1,
设光线l与y轴的交点(即反射点)为Q,点P关于y轴的对称点为P′(-1,-1),
由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线,且为圆C的切线,…(2分)
设P′Q的方程为y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0,…(4分)
∵直线P′Q与圆C相切,
∴圆心C(4,4)到直线P′Q的距离等于半径长,即
|4k−4+k−1|
k2+1=1,
解得:k=[4/3]或k=[3/4],…(8分)
由光线l与直线P′Q关于y轴对称可得:光线l的斜率为-[4/3]或-[3/4],…(10分)
∴光线l所在的直线方程为y+1=-[4/3](x-1)或y+1=-[3/4](x-1),即4x+3y-1=0或3x+4y+1=0.…(12分)
点评:
本题考点: 圆的切线方程;点到直线的距离公式.
考点点评: 此题考查了圆的切线方程,涉及的知识有:圆的标准方程,关于y轴对称的直线方程,点到直线的距离公式,两直线垂直时斜率满足的关系,以及直线的点斜式方程,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.