Question

如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE

Answer 1

解题思路：（1）连接OC，由于AB是直径，那么∠BAE=90°，则∠B+∠E=90°，而OB=OC，CF=EF，可知∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，易证∠BCO+∠ECF=90°，于是∠FCO=90°，于是CF是⊙O切线；

（2）由于AB⊥CD，利用垂径定理有弧AC=弧AD，那么∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，从而有tan∠APD=tan∠B=[1/2]=[CM/BM]，再CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，根据勾股定理有R²=t²+（2t-R）²，可得R=[5/4]t，进而可求sin∠CPD．

（1）证明：连接OC，

∵AB是直径，

∴∠BAE=90°，

∴∠B+∠E=90°，

又∵OB=OC，CF=EF，

∴∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，

∴∠BCO+∠ECF=90°，

∴∠FCO=90°，

∴CF是⊙O切线；

（2）∵CD⊥AB，

∴

AC=

AD，

∴∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，

∴tan∠APD=tan∠B=[1/2]=[CM/BM]，

设CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，

∴R²=t²+（2t-R）²，

∴R=[5/4t，

∴sin∠CPD=sin∠COM=

CM

OC]=[4/5]．

点评：

本题考点： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的计算、圆周角定理．解题的关键是连接OC，证明∠BCO+∠ECF=90°，并求出R=54t．