你好：
由题意可得ω ＞0,T=π
f（x）=2cosωx+2√3 sinωx+1=2(cosωx+√3 sinωx)+1=4(1/2cosωx+√3 /2sinωx)+1
=4sin(ωx+π/6)+1
又知T=2π/ω=π
即 ω=2
则 f（x）=4sin(2x+π/6)+1
（1）当 x∈[0,π/2]时,0≤2x≤π,π/6≤2x+π/6≤7π/6,则 -1/2≤sin(2x+π/6)≤1,则
-1≤4sin(2x+π/6)+1≤5,由此可得 -1≤ f（x）≤5,即当x∈[0,π/2]时,f（X）的最小值为- 1,f（X）范围为[-1,5].
(2)x∈[0,π]时, π/6≤2x+π/6≤13π/6
令 t=2x+π/6, π/6≤t≤13π/6, 则由y=sin x（x∈R)的图像性质可得
当 π/6≤t≤π/2 或 3π/2≤t≤13π/6 时,函数f(x)单调递增,即
π /6 ≤ 2x+π/6 ≤π/2 或 3π/2 ≤ 2x+π/6 ≤13π/6 ,化解不等式可解得
0 ≤ x ≤ π/6 或 2π/3 ≤ x ≤π
即 x∈[0,π/6 ] , x∈[2π/3,π] 时,f（x）的单调递增.
总结：对于这类问题,还是比较容易得分的,关键在于对三角函数的化简,有一个等效代替的方法y=asinωx+bcosωx,(x∈R)可以化简成y=√a²+b² sin(ωx+ψ),其中tanψ=b/a.另外,这题还综合不等式的解法以及分类讨论的思想,是比较值得认真钻研的好题!
楼上,对于你的大图,我看了下,发现了两处错误,就是那个2π ≤ 2x+π/6 ≤13π/6,这里是要求递增区间,并未要求f（x）≧0,所以对于你的区间我不认同；还有一个就是递增区间的表达,印象中不能用集合的交集来表达递增的总区间,这是我高三时数学老师对我的要求.
希望我的回答对你有帮助.