已知P为三角形ABC所在平面内一点,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延长AP交BC于点D,

1个回答

  • (1)向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.

    根据向量的减法可知:向量AP+2向量(AP-AB)+3向量(AP-AC)=向量0.

    即6AP-2AB-3AC=0,

    向量AP=1/3AB+1/2AC=1/3a+1/2b.

    向量AD与向量AP共线,所以存在唯一实数m,使得

    向量AD=m向量AP=m(1/3a+1/2b)= 1/3ma+1/2mb.

    向量BD与向量BC共线,所以存在唯一实数n,使得

    向量BD=n向量BC=n(AC-AB)=n(b-a),

    又向量AD=AB+BD=a+ n(b-a)=(1-n)a+nb.

    综上可知;向量AD=1/3ma+1/2mb=(1-n)a+nb.

    所以1/3m=(1-n),1/2m=n,

    解得m=6/5,n=3/5.

    所以向量AD=1/3ma+1/2mb=2/5a+3/5b.

    (2)由(1)可知:向量BD=3/5向量BC, 向量AD=6/5向量AP.

    所以△PBD与△PDC的高相同,底边BD与DC的比是3:2,

    所以二者的面积比是3:2,

    设△PBD的面积是3S, 则△PDC的面积是2S.

    △PBD与△ABP的高相同,底边PD与AP的比是1:5,

    所以△ABP的面积是15S.

    △PDC与△ACP的高相同,底边PD与AP的比是1:5,

    所以△ABP的面积是10S.

    ∴S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=15S:5S:10S=3:1:2.