Question

若数列{an}满足：对任意的n∈N﹡,只有有限个正整数m使得am＜n成立,记这样的m的个数为（an）+,则得到一个新数列

Answer 1

根据题意,若am＜5,而an=n2,知m=1,2,∴（a5）+=2,由题设条件可知（（a1）+）+=1,（（a2）+）+=4,（（a3）+）+=9,（（a4）+）+=16,于是猜想：（（an）+）+=n2．

∵am＜5,而an=n2,∴m=1,2,∴（a5）+=2．

∵（a1）+=0,（a2）+=1,（a3）+=1,（a4）+=1,

（a5）+=2,（a6）+=2,（a7）+=2,（a8）+=2,（a9）+=2,

（a10）+=3,（a11）+=3,（a12）+=3,（a13）+=3,（a14）+=3,（a15）+=3,（a16）+=3,

∴（（a1）+）+=1,（（a2）+）+=4,（（a3）+）+=9,（（a4）+）+=16,

猜想：（（an）+）+=n2．

答案：2,n2．