在1882年,著名数学家菲立克斯•克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”.这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面,但是它却只有一个面.在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子.但是它没有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起.如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面.
具体分析
我们可以说一个球有两个面——外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去.轮胎面也是一样,有内外表面之分.但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在“瓶外”的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型.在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型.如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置.但是事实却非如此.事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样.事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁.这是怎么回事呢?我们用扭节来打比方.如果我们把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截.但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线.在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交.只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子.克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面.在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样.题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶.
性质
从拓扑学角度上看,克莱因瓶可以定义为矩阵[0,1] × [0,1],边定义为 (0,y) ~ (1,y) 条件 0 ≤y≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 条件 0 ≤x≤ 1可以用图表示为 ----> ^ ^ | |