Question

在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列{[1an}的前n项和为Sn，若S2n+1-Sn≤m/15]，∀n∈N

Answer 1

解题思路：由等差数列的通项公式求出数列{

1

a

n

}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，可其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．

∵在等差数列{a_n}中a₂=5，a₆=21，

∴公差d=

a6−a2

6−2=4

∴a_n=5+4（n-2）=4n-3，∴[1

an=

1/4n−3]，

∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）

=（[1

an+1+

1

an+2+…+

1

a2n+1）-（

1

an+2+

1

an+3+…+

1

a2n+3）

=

1

an+1−

1

a2n+2−

1

a2n+3=

1/4n+1−

1

8n+5−

1

8n+9]

=（[1/8n+2−

1

8n+5]）+（[1/8n+2−

1

8n+9]）＞0，

∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，

∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=[1/5+

1

9]=[14/45]

∴只需[14/45]≤[m/15]，变形可得m≥[14/3]，

又∵m是正整数，∴m的最小值为5．

故选：C．

点评：

本题考点： 等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查数列与不等式的结合，证数列{S2n+1-Sn}（n∈N*）是递减数列并求数列{S2n+1-Sn}（n∈N*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．