Question

（2012•西山区模拟）与椭圆x24+y2＝1有相同的焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是x22−y2＝1x22−y2＝

Answer 1

解题思路：根据椭圆

x

2

4

+

y

2

＝1

方程，得到a²=4且b²=1，所以c²=a²-b²=3，再设所求双曲线方程为

x

2

m

−

y

2

n

＝1

，（m＞0，n＞0）．然后结合题意：双曲线与椭圆

x

2

4

+

y

2

＝1

有相同的焦点且过点P（2，1），列出方程组并解之可得m=2，n=1，从而得到所求双曲线的方程．

∵椭圆

x2

4+y2＝1中，a²=4，b²=1，

∴c²=a²-b²=3

设双曲线方程为

x2

m−

y2

n＝1，（m＞0，n＞0）

∵双曲线与椭圆

x2

4+y2＝1有相同的焦点且过点P（2，1），

∴m+n=3且

22

m−

12

n＝1，解之可得m=2，n=1

∴双曲线方程是

x2

2−y2＝1．

故答案为：

x2

2−y2＝1

点评：

本题考点： 双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题给出与已知椭圆共焦点的双曲线且经过一个已知定点，求双曲线的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和双曲线的简单几何性质，属于基础题．