(2012•天津)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相

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  • 解题思路:由圆的方程找出圆心坐标和半径r,由直线l被圆截得的弦长与半径,根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离,然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离,两者相等列出关系式,整理后求出m2+n2的值,再由直线l与x轴交于A点,与y轴交于B点,由直线l的解析式分别令x=0及y=0,得出A的横坐标及B的纵坐标,确定出A和B的坐标,得出OA及OB的长,根据三角形AOB为直角三角形,表示出三角形AOB的面积,利用基本不等式变形后,将m2+n2的值代入,即可求出三角形AOB面积的最小值.

    由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,

    ∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,

    ∴圆心到直线l的距离d=

    r2−(

    CD

    2)2=

    3,

    ∴圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=

    1

    m2+n2=

    3,

    整理得:m2+n2=[1/3],

    令直线l解析式中y=0,解得:x=[1/m],

    ∴A([1/m],0),即OA=[1

    |m|,

    令x=0,解得:y=

    1/n],

    ∴B(0,[1/n]),即OB=[1

    |n|,

    ∵m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,

    ∴|mn|≤

    m2+n2/2],

    又△AOB为直角三角形,

    ∴S△ABC=[1/2]OA•OB=

    1

    2|mn|≥

    点评:

    本题考点: 直线与圆相交的性质;直线的一般式方程.

    考点点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,直线的一般式方程,以及基本不等式的运用,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.