在△ABC中,已知三点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),O为原点.若向量OA

2个回答

  • (1)由OA→+KOB→+(2-K)OC→=0→得kOB→+(2-k)OC→=-OA→

    两边平方,得k2+(2-k)2+2k(2-k)cos(β-γ)=1

    整理得cos(β-γ)=2k2-4k+32k2-4k=1+32(k2-2k)

    当k∈(0,2)时,k2-2k∈[-1,0),32(k2-2k)∈(-∞,-32],1+32(k2-2k)∈(-∞,-12]

    又cos(β-γ)∈[-1,1],

    ∴cos(β-γ)∈[-1,-12]

    当k=1时,cos(β-γ)取得最大值-12;

    当k=12或k=32时,cos(β-γ)取得最小值-1.

    (2)由(1)得,cos(β-γ)取得最大值-12时,k=1

    此时,OA→+OB→+OC→=0→且OB→与OC→的夹角为120°.

    又|OA→|=|OB→|=|OC→|,(OA→+OB→)2=OA→2+OB→2+2OA→•OB→=1⇒OA→•OB→=-12

    ∴OA→与OB→的夹角为120°.

    故S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:1:1.