这个问题一般都是用向量或复数做的,向量方法可以推广到高维.
|PA|^2=|PM+MA|^2=|PM|^2+|MA|^2+2PM·MA
|PB|^2=|PM+MB|^2=|PM|^2+|MB|^2+2PM·MB
|PC|^2=|PM+MC|^2=|PM|^2+|MC|^2+2PM·MC
从而|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2+3|MP|^2+2PM·(MA+MB+MC)
由于M是重心,对任何一点O,有
OM=(OA+OB+OC)/3
MA=OA-OM,MB=OB-OM,MC=OC-OM
于是MA+MB+MC=0,即得结论.