Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为P，点M是x轴上

Answer 1

解题思路：（1）根据二次函数y=-x²+4x+5的图象交x轴于点A、B，即y=0求出x即可，根据MA+MB的最小值为AB得出即可；

（2）根据已知求出C，P两点坐标，即可得出MP-MC的最大值为PC长度，进而得出即可；

（3）根据若PCMD为矩形，则△PCD∽△CMO，利用相似三角形的性质得出MO的长度，进而得出M点坐标即可．

（1）-x²+4x+5=0，

得x₁=-1，x₂=5，

所以A（5，0），B（-1，0），

MA+MB的最小值为AB（或MA+MB≥AB），

即MA+MB的最小值为：MA+MB=AB=6；

（2）由y=-x²+4x+5，

x=0时，y=5，

即C（0，5），

y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，

故P（2，9），

作PD⊥y轴，垂足为D，

则PD=2，CD=9-5=4，

∵只有M，CP在一条直线上时，MP-MC的值最大为PC，

∴MP-MC的最大值为：PC＝

PD2+CD2＝2

5；

（3）若PCMD为矩形，

即∠PCM=90°，

则∠DCP+∠MCO=90°，∵∠DCP+∠DPC=90°，

∴∠CMO=∠DCP，

∵∠COM=∠PDC=90°，

∴△PCD∽△CMO，

[PD/CD＝

CO

MO]，

[2/4]=[5/MO]，

解得MO=10，

即存在点M（10，0），能使PCMD为矩形．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，根据图象得出MP-MC的最大值为PC是解题关键．