探究一：（1）连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得
BE=CE,∠PBE=∠C,
又∠BEP=∠CEQ,
则△BEP≌△CEQ,得EP=EQ；
（2）作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,根据两个角对应相等,得
△MEP∽△NEQ,
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
（3）
过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,
∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,
∴∠EPB+∠EQB=180°,
又∵∠EPB+∠MPE=180°
∴∠MPE=EQN
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ
∴
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴
∴ ,EP与EQ满足的数量关系式为1：m,
∴0≤m≤2+ ；
探究二：（1）设EQ=x,则S= x2,
所以当x=10 时,面积最小,是50；
当x=10 时,面积最大,是75．
（2）当x=EB=5 时,S=62.5,
故当50＜S≤62.5时,这样的三角形有2个；
当S=50或62.5＜S≤75时,这样的三角形有一个．