Question

如图，⊙O 1 与⊙O 2 外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O 1 O 2 的延长线交于C点，在AP

Answer 1

（1）证明：连接PB，OA，OB，

∵AB为公切线

∴∠1=

1

2 ∠O ₁，∠2=

1

2 ∠PO ₂B

∵O ₁A ∥ O ₂B

∴∠O ₁+∠PO ₂B=180°

∴∠1+∠2=90°

∴∠APB=90°

∵

AP

AB =

AC

AE ，∠1=∠1

∴△APB ∽ △ACE

∴∠ACE=∠APB=90°

∴AC⊥EC；

（2）证明：∵BP⊥AE于P

∴∠3+∠4=90°

∵AB为公切线

∴O ₂B⊥AB于B

∴∠2+∠5=90°

又∵O ₂P=O ₂B

∴∠4=∠5

∴∠2=∠3

由（1）知△APB ∽ △ACE

∴∠E=∠2

∴∠3=∠E

∴PC=EC；

（3）作内公切线PH，交AB于H，

∴AH=PH=HB

∴∠APB=90°

∴∠DPB=90°

∴DB为⊙O直径

∴DB⊥AB于B

∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高

∴PB ²=AP•DP=4×

9

4

∴PB=3

∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5

∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C

∴∠PBC=∠APC

又∵∠6=∠6

∴△PBC ∽ △APC

∴

BC

PC =

PB

AP =

3

4

又∵PC=EC

∴

BC

EC =

3

4 ．

1年前

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