Question

（2012•德化县一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．

Answer 1

解题思路：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠OCB=∠OBC，根据AB是直径得出∠ABC=90°，求出∠A+∠ABC=90°，代入求出∠OCB+∠BCD=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△DCB∽△DAC，得出CD²=BD×DA，代入即可求出BD．

（1）证明：连接OC，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

又∵∠BCD=∠A，

∴∠OCB+∠BCD=90°，

∴∠OCD=90°，即OC⊥CD

又∵点C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴[CD/DA＝

BD

DC]，即CD²=AD•BD

又∵CD=4，AO=OB=3，

∴16=（BD+6）BD，

解得：BD=2．

点评：

本题考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．