（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭 - 知识问答

（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两

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（1）2（2）见解析
（1）设y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0，由方程组
，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²﹣3=0，
由题意△＞0，
所以3k²+1＞t²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=﹣
，所以y₁+y₂=
，
∵线段AB的中点为E，∴x_E=
，y_E=
，
此时k_OE=
=﹣
．
所以OE所在直线方程为y=﹣
x，
又由题设知D（﹣3，m）．
令x=﹣3，得m=
，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（2）（i）证明：由（1）知OD所在直线方程为y=﹣
x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣
，
），
又E（
，
），D（﹣3，
），
由距离公式和t＞0，得
|OG|²=（﹣
）²+（
）²=
，
|OD|=
，
|OE|=
=
．
由|OG|²=|OD|∙|OE|，
得t=k，
因此直线l的方程为y=k（x+1），
所以直线l恒过定点（﹣1，0）；
（ii）由（i）得G（﹣
，
），
若点B，G关于x轴对称，则B（﹣
，﹣
），
将点B坐标代入y=k（x+1），
整理得
，
即6k⁴﹣7k²+1=0，解得k²=
或k²=1，
验证知k²=
时，
不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此时B（﹣
，﹣
），G（﹣
，
）关于x轴对称，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以点A（0，1），
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d²+1=（d+
）²+
，解得d=﹣
，
故△ABG的外接圆的半径为r=
=
，
所以△ABG的外接圆方程为
．

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