Question

在数列{an}中,a1=1/2,a（n+1）=3an/an+3,求证（a1）/3+（a2）/3+...+an/3≥2n/

Answer 1

先取倒数,令bn=1/(an),则b1=2

得到

b(n+1)=b(n)+1/3

所以有b(n)=2+1/3*(n-1)=n/3+(5/3)

于是a(n)=1/b(n)=3/(n+5)

所以

(a1)/3+.+(an)/3

=1/6+1/7+.+1/(n+5)

首先易得n=1时,不等式左=1/6=右

下面考虑归纳法设n=k时成立

下面只需要证明a(n+1)>2*(n+1)/[(n+1)+11] -2*n/(n+11)

直接通分展开等价于n^2+n>0这是显然的

于是证完