Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）整理题设a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），进而可推断数列{a_n-n}是等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{a_n-n}的通项公式，进而可得{a_n}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得S_n．

（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的S_n代入S_n+1-4S_n整理后根据

−

1

2

(3

n

2

+n−4)≤0

证明原式．

（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．

又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．

所以数列{a_n}的前n项和Sn＝

4n−1

3+

n(n+1)

2．

（Ⅲ）证明：对任意的n∈N^*，Sn+1−4Sn＝

4n+1−1

3+

(n+1)(n+2)

2−4(

4n−1

3+

n(n+1)

2)=−

1

2(3n2+n−4)≤0．

所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．

考点点评： 本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．