Question

（2014•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，

Answer 1

解题思路：（1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2求出数列{a_nb_n}的前n项和Sn，即可解不等式．

（1）∵a_n+1=2S_n+1，

∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1两式相减得：a_n+1=3a_n（n≥2）

又a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N*）．

∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴a_n=3^n-1．

又b₁=b₂-d=5-2=3，∴b_n=b₁+（n-1）d=2n-1．

（2）an•bn＝(2n+1)•3n−1

令Tn＝3×1+5×3+7×32+…+(2n−1)×3n−2+(2n+1)×3n−1…①

则3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②

①-②得：−2Tn＝3×1+2(3+32+…+3n−1)−(2n+1)×3n

∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，

∵3³=27，3⁴=81，

∴n的最小正整数为4．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和Sn的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用错位相减法是解决本题的关键．