Question

在三角形ABC中,设sin^2(A/2)+2sin^2(B/2)+sin^2(C/2)=1

Answer 1

半角的正弦公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

得：2sin^2(B/2)=1－cosB

sin^2(A/2)+sin^2(C/2)=1-1/2(cosA+cosC)=cosB

cosA+cosC=2(1-cosB)=4sin^2(B/2)……①

在△ABC中,A+B+C=π,于是

B/2=(π-A-C)/2,sinB/2=sin(π-A-C)/2=cos(A+C)/2

而cosA+cosC=2cos(A+C)/2cos(A-C)/2,代入①式化简,可得：

cos(A-C)/2=2cos(A+C)/2

即：

cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=2cosA/2cosC/2-2sinA/2sinC/2

亦即：

cosA/2cosC/2=3sinA/2sinC/2

故：

tanA/2tanC/2=1/3

附：

在△ABC中,由射影定理得：

a=bcosC+ccosB

c=bcosA+acosB

于是：

a+c=b（cosC+cosA）+（c+a）cosB

(a+c)（1-cosB）=b（cosA+cosC）

故：(cosA+cosC)/(1-cosB)=(a+c)/b

根据以上①式,得：(a+c)/b=2

说明：本题思维可以非常发散,并能够得出许多有益结论：

(1) sinA+sinC=2sinB;

(2) S = 0.75b^2*tg(B/2)

(3) 各边所对应的高线成调和数列;

(4) 三角形三边成等差数列的充要条件为：cosA+2cosB+cosC=2（由①式可推出）

另外,查阅三角形三边成等差数列的若干特征性质,希望能够得到更多帮助.