Question

设矩阵A=BC,B列满秩,则 r(A)=r(C)

Answer 1

证明:只要证明 AX=0 与 CX=0 同解即可.

一方面,显然CX=0的解是AX=BCX=0的解.

另一方面,设X1是AX=0的解,则AX1=0.

所以 (BC)X1=0

所以 B(CX1)=0

因为 B 列满秩,所以有 CX1=0.

即X1是CX=0的解.

因此有 r(A)=r(C).

注:这个结论在解答判断题时非常有效,只需计算组合系数行列式是否为0即可