已知正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE

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  • 解题思路:因为BM可以交AD,也可以交CD.分两种情况讨论:

    ①BM交AD于F,则△ABE≌△BAF.推出AF=BE=3,所以FD=EC,连接FE,则四边形ABEF为矩形,所以M为该矩形的对角线交点,所以BM=AC的一半,而AE等于5(勾股定理得之);

    ②BM交CD于F,则BF垂直AE(通过角的相加而得)且△BME∽△ABE,则[AB/BM]=[AE/BE],所以求得BM等于[12/5].

    分两种情况讨论:

    ①BM交AD于F,

    ∵∠ABE=∠BAF=90°,AB=BA,AE=BF,

    ∴△ABE≌△BAF(HL)

    ∴AF=BE,

    ∵BE=3,

    ∴AF=3,

    ∴FD=EC,

    连接FE,则四边形ABEF为矩形,

    ∴BM=[1/2]AE,

    ∵AB=4,BE=3,

    ∴AE=5,

    ∴BM=[5/2];

    ②BM交CD于F,

    ∵△ABE≌△BCF,

    ∴∠BAE=∠CBF,

    ∵∠BAE+∠BEA=90°,

    ∴∠BEM+∠EBM=90°,

    ∴∠BME=90°,

    即BF垂直AE,

    ∴△BME∽△ABE,

    ∴[AB/BM]=[AE/BE],

    ∵AB=4,AE=5,BE=3,

    ∴BM=[12/5].

    故选C.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;勾股定理.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质和勾股定理,以及三角形的全等和相似,是基础知识要熟练掌握.