Question

已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据x₁=3，求得p，q的关系，进而根据通项x_n=2ⁿp+np（n∈N^*，p，q为常数），且x₁，x₄，x₅成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．

（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．

（Ⅰ）∵x₁=3，

∴2p+q=3，①

又x₄=2⁴p+4q，x₅=2⁵p+5q，且x₁+x₅=2x₄，

∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，②

联立①②求得 p=1，q=1

（Ⅱ）由（1）可知x_n=2ⁿ+n

∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）

=2n+1−2+

n(n+1)

2．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．