数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.
中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值,如边长、角度等等.
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了.
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法.
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路.
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图象来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算.