解题思路：（1）利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）的后两项化为一个角的正弦函数，根据正弦函数取得最大值时角度的值列出关于x的方程，求出方程的解即可得到f（x）取得最大值时x范围，并求出此时的最大值；
（2）根据正弦函数的递增区间，列出（1）得到f（x）的解析式中正弦函数的角度的不等式，化简后即可求出x的范围，即为函数f（x）的单调增区间．
（1）f（x）=2+sin2x+cos2x=2+
2sin(2x+
π
4)，（4分）
∴当2x+
π
4＝2kπ+
π
2，即x＝kπ+
π
8(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+
2．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x＝kπ+
π
8，k∈Z}；（8分）
（2）f(x)＝2+
2sin(2x+
π
4)，
由题意得2kπ−
π
2≤2x+
π
4≤2kπ+
π
2(k∈Z)，
即kπ−
3
8π≤x≤kπ+
π
8(k∈Z)．
因此，f（x）的单调增区间是[kπ−
3π
8，kπ+
π
8](k∈Z)． …（12分）
点评：
本题考点： 三角函数的最值；正弦函数的单调性．
考点点评： 此题考查了三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．