Question

求证：对于任一矩形A,总存在矩形B,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数k（其中k大于等于1）

Answer 1

这个好证明, 假设B的长宽分别为c,d,则

cd=kab(1)

c+d=k(a+b)(2)

因为c+d≥2√cd,所以k(a+b)≥2√cd,所以

k＾2(a+b)^2≥4cd(3)

(3)/(1),得

k(a+b)^2/ab≥4

解得k≥4ab/(a+b)^2,（当且仅当a=b时取等号）

所以当a=b时,k取最小值是4ab/(a+b)^2＝1(a=b).

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