（2009•闸北区二模）将数列{an}中的所有项按 - 知识问答

（2009•闸北区二模）将数列{an}中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

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解题思路：（Ⅰ）由题设条件可以知道，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43．
（Ⅱ）根据题意知
b
n+1
b
n
＝
n
n+1
，因此
b
2
b
1
＝
1
2
，
b
3
b
2
＝
2
3
，…，
b
n
b
n−1
＝
n−1
n
，将各式相乘得
b
n
＝
1
n
．
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）．
（Ⅰ）由题意，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43，（4分）
（Ⅱ）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令t＝
bn+1
bn得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以
bn+1
bn＝
n
n+1（8分）
因此
b2
b1＝
1
2，
b3
b2＝
2
3，…，
bn
bn−1＝
n−1
n
将各式相乘得bn＝
1
n（10分）
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．
因为3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，
故a₆₆在表中第10行第三列，（14分）
因此a66＝b10•q2＝
2
5．又b10＝
1
10，所以q=2．则S(k)＝
bk(1−qk+2)
1−q＝
1
k(2k+2−1)．k∈N^*（16分）
点评：
本题考点：数列递推式；数列的求和；等比数列的性质．
考点点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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