Question

一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体．求这三个立体中最大的体积和最小的体积

Answer 1

解题思路：这个三角形的两条直角边分别是3、4，斜边是5．

以3为旋转轴得到的是底面半径为4，高为3的一个圆锥；

以4为旋转轴得到的是底面半径为3，高为4的一个圆锥；

根据圆锥的公式V=[1/3]πr²h即分别求出这两个圆锥的体积．

以长为5的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆锥底面上下叠合在一起组成的纺锥体．设两个圆锥的高h₁h₂，则h₁+h₂=5，设底面的半径是h，它是直角三角形斜边上的高，由直角三角形面积公式：[1/2]×5h=[1/2]×3×4，得h=[12/5]．再由圆锥的体积公式计算纺锥体的体积．然后根据比的意义，求出这三个立体中最大的体积和最小的体积的比．

（1）以长为3的直角边分为轴旋转得到的是一个圆锥，体积：V₃=[1/3]π×4²×3=16π；

（2）以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，体积：V₄=[1/3]π×3²×4=12π；

（3）以长为5的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆锥底面上下叠合在一起组成的纺锥体．

设两个圆锥的高h₁和h₂，则有h₁+h₂=5，设底面的半径是h，

它是直角三角形斜边上的高，由直角三角形面积公式：[1/2]×5h=[1/2]×3×4，所以h=[12/5]．

再由圆锥的体积公式计算纺锥体的体积是：V₅=[1/3]πh²h₁+[1/3]πh²h₂=[1/3]πh²（h₁+h₂）=[1/3]π（[12/5]）²×5=[48/5]π；

（4）16π＞12π＞[48/5]π，

16π：[48/5]π=5：3．

答：最大的体积和最小的体积的比5：3．

点评：

本题考点： 将简单图形平移或旋转一定的度数；比的意义；圆锥的体积．

考点点评： 本题主要是考查圆锥的体积、纺锥体体积的计算．纺锥体体积的计算比较麻烦，用小学知识解答比较困难．