Question

如图,锐角△ABC中,∠A＝60°,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,F为BC中点．求证：△DEF为等边三角形．

Answer 1

∵BD⊥AC,CE⊥AB,F是BC的中点

∴FE和FD分别是Rt⊿BEC和Rt⊿BDC的斜边中线

∴FE=FD=BC/2

∵FE=BC/2=FB

∴∠BEF=∠EBF

△FBE中

∠EFB=180º-∠BEF-∠EBF=180º-2∠EBF

∵FD=BC/2=FC

∴∠FDC=∠FCD

△FCD中

∠DFC=180º-∠FDC-∠FCD=180º-2∠FCD

∵∠A=60º

∴∠EBF+∠FCD=120º

∴∠EFB+∠DFC=360º-2（∠EBF+∠FCD）=120º

∵∠EFB+∠DFC+∠EFD=180º

∴∠EFD=60º

∵FE=FD

∴⊿DEF是等边三角形