因为tanα是方程x²+2x/cosα+1=0的根
所以tan²α+2tanα/cosα+1=0
两边同时乘以cos²α得
sin²α+2sinα+cos²α=0
1+2sinα=0
2sinα=-1
sinα=-1/2
得α=-π/6+2kπ或-5π/6+2kπ
①当α=-π/6+2kπ时,cosα=√3/2,此时方程为x²+4√3/3·x+1=0,得x1=-1,x2=-√3/3,而tanα=-√3/3不是方程的最小根,不符合,舍去.
②当α=-5π/6+2kπ时,cosα=-√3/2,此时方程为x²-4√3/3·x+1=0,得x1=1,x2=√3/3,而tanα=√3/3满足方程的最小根.
综上：α=-5π/6+2kπ,k∈Z