双曲线x²－y²=1的离心率是√2,则椭圆的离心率e=√2/2,圆x²＋y²=4的半径是R=2,则：
a=2,c=√2,所以b²=a²－c²=2,得椭圆方程是：x²/4＋y²/2=1
直线y=√2x＋m代入椭圆中,化简,得：
5x²＋4√2mx＋2m²－4=0
x1＋x2=－4√2m/5,x1x2=－4/5
|AB|=[√(1＋k²)]×|x1－x2|=[√(240－24m²)]/5
点P到直线AB的距离d=|m|/√3
则：S=(1/2)×d×|AB|=(1/10)√[80m²－8(m²)²]=(1/10)√[－8(m²－5)²＋200]
则S的最大值是(1/10)√200=√2,此时m²=5,即m=±√5