Question

定义函数fn（x）=（1+x）n-1，（x＞-2，n∈N*），其导函数记为fn′（x）．（1）求证：fn（x）≥nx；（

Answer 1

（1）①n=1时，f₁（x）=x=1?x，∴原不等式成立；

②n＞1时，∵fn(x)?nx＝(1+x)n?1?nx，∴令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]；

∴当x∈（-2，0）时，（1+x）∈（-1，1），∴（1+x）^n-1∈（-1，1），∴g′（x）＜0；

当x∈（0，+∞）时，（1+x）^n-1＞1，∴g′（x）＞0，∴g（0）=0是g（x）的极小值，也是最小值；

∴g（x）≥0，∴（1+x）ⁿ-1-nx≥0，∴f_n（x）≥nx（当x=0时取等号）；

综上得f_n（x）≥nx．

（2）①n=1时，

f1′(x0)

f2′(x0)＝

1

2(1+x0)＝

f1(1)

f2(1)＝

1

3，∴x0＝

1

2，∴0＜x₀＜1成立；

②当n＞1时，由已知条件得：

n(1+x0)n?1

(n+1)(1+x0)n＝

2n?1

2n+1?1；

∴1+x0＝

n(2n+1?1)

(n+1)(2n?1)，x0＝

(n?1)2n+1+1

(n+1)(2n?1)＞0，x0?1＝

n+2?2n+1

(n+1)(2n?1)；

由（1）知当x＞0时，（1+x）ⁿ＞1+nx，∴2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹＞1+n+1=n+2；

∴x₀＜1，∴0＜x₀＜1．

综上得0＜x₀＜1．

（3）h(x)＝f3(x)?f2(x)＝x(1+x)2，h′（x）=（1+x）²+x?2（1+x）=（1+x）（1+3x）；

令h′（x）=0，得x=-1，或-[1/3]；

x∈（-2，-1）时，h′（x）＞0；x∈（-1，-[1/3]）时，h′（x）＜0；x∈（-[1/3]，+∞）时，h′（x）＞0；

∴h（x）的图象如下图所示：

下面考查直线y=kx（k＞0）与h（x）的相交问题：

由图可知：直线y=kx与h（x）存在交点，并且满足h（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]；

在[-1，0]上，A（?

1

3，?

4

27）为h（x）的极小值点，过A作直线y＝?

4

27，与h（x）的图象交于另一点B(?

4

3，?

4

27)；

当直线y=kx（k＞0）绕原点O顺时针旋转至点B时，满足条件的k取最小值，且最小值为[1/9]，相应区间[a，b]为[?

4

3，0]．