Question

点P在椭圆x24+y23＝1上运动，Q、R分别在两圆（x+1）2+y2=1和（x-1）2+y2=1上运动，则|PQ|+|

Answer 1

解题思路：椭圆

x

2

4

+

y

2

3

＝1

中，c²=4-3=1，故椭圆

x

2

4

+

y

2

3

＝1

两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接PF₁，PF₂，并延长，分别交两圆于Q′，R′，则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|=|PF₁|+1+|PF₂|+1=e|AB|+2，由此能求出|PQ|+|PR|的最大值．

∵椭圆

x2

4+

y2

3＝1中，c²=4-3=1，

∴椭圆

x2

4+

y2

3＝1两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，

e＝

c

a＝

1

2，准线x=±

a2

c=±4，

过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，

连接PF₁，PF₂，并延长，分别交两圆于Q′，R′，

则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|

=|PF₁|+1+|PF₂|+1

=e|PA|+e|PB|+2

=e|AB|+2

=

1

2×8+2

=6．

故选D．

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．