(2014•同安区质检)如图,BC是半圆O的直径,点A在半圆O上,点D是AC的中点,点E在AC上运动.若AB=2,tan

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  • 解题思路:先运用三角函数求出AB,AD,CD之间的关系,再分三种情况说明①利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾,②以点E为直角顶点的等腰三角形存在,运用三角形全等证明.③利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾.

    ∵BC为半⊙O的直径

    ∴∠BAC=90°

    ∴tan∠ACB=[AB/AC]

    ∵tan∠ACB=[1/2],AB=2

    ∴AC=4

    ∵D为AC中点

    ∴AD=CD=[1/2]AC=2

    ∴AB=AD=CD=2

    ①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在

    若存在,则∠CAE=90°

    ∵∠BAC=90°

    ∴B、A、E成一条直线

    ∴B、A、E不可能在同一个圆上,即点E不在⊙O上

    因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在

    ②如图1,以点E为直角顶点的等腰三角形存在,

    ∵BC为半⊙O的直径

    ∴∠BEC=∠4+∠5=90°

    ∵∠AED=∠3+∠5=90°

    ∴∠3=∠4,

    又∵∠1=∠2,AB=DC,

    在△ABE和△DCE中,

    ∠3=∠4

    ∠1=∠2

    AB=DC,

    ∴△ABE≌△DCE(AAS)

    ∴AE=DE,

    ∴△AED为等腰直角三角形.

    ③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在

    如图2,连接EC

    假设点D为直角顶点的等腰三角形存在

    则ED=AD=2,∠DAE=∠AED=45°,

    ∵ED是AC的垂直平分线,

    ∴AE=EC,

    ∴∠CED=∠AED=45°,

    ∴∠AEC=90°,

    ∴AC为直径

    ∵AC<BC,不为直径

    ∴假设不成立

    ∴以点D为直角顶点的等腰三角形不存在.

    综上所述,只有当以点E顶点时存在等腰直角三角形AED.

    点评:

    本题考点: 圆的综合题.

    考点点评: 本题主要考查了圆的综合题,涉及三角形全等的判定及性质,等腰直角三角形等知识,解题的关键是运用三角形全等及假设法来证明等腰直角三角形AED是否存在.