解题思路:先运用三角函数求出AB,AD,CD之间的关系,再分三种情况说明①利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾,②以点E为直角顶点的等腰三角形存在,运用三角形全等证明.③利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾.
∵BC为半⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∴tan∠ACB=[AB/AC]
∵tan∠ACB=[1/2],AB=2
∴AC=4
∵D为AC中点
∴AD=CD=[1/2]AC=2
∴AB=AD=CD=2
①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在
若存在,则∠CAE=90°
∵∠BAC=90°
∴B、A、E成一条直线
∴B、A、E不可能在同一个圆上,即点E不在⊙O上
因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在
②如图1,以点E为直角顶点的等腰三角形存在,
∵BC为半⊙O的直径
∴∠BEC=∠4+∠5=90°
∵∠AED=∠3+∠5=90°
∴∠3=∠4,
又∵∠1=∠2,AB=DC,
在△ABE和△DCE中,
∠3=∠4
∠1=∠2
AB=DC,
∴△ABE≌△DCE(AAS)
∴AE=DE,
∴△AED为等腰直角三角形.
③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在
如图2,连接EC
假设点D为直角顶点的等腰三角形存在
则ED=AD=2,∠DAE=∠AED=45°,
∵ED是AC的垂直平分线,
∴AE=EC,
∴∠CED=∠AED=45°,
∴∠AEC=90°,
∴AC为直径
∵AC<BC,不为直径
∴假设不成立
∴以点D为直角顶点的等腰三角形不存在.
综上所述,只有当以点E顶点时存在等腰直角三角形AED.
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题主要考查了圆的综合题,涉及三角形全等的判定及性质,等腰直角三角形等知识,解题的关键是运用三角形全等及假设法来证明等腰直角三角形AED是否存在.