解题思路：先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷[1/2]=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=[1/2]AB=[1/2]×4=2，
点E在AB上时，t=2÷1=2秒，
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2-2=6，
t=6÷1=6；
②∠BED=90°时，BE=BD•cos60°=[1/2]×2×[1/2]=0.5，
点E在AB上时，t=（4-0.5）÷1=3.5，
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5，
t=4.5÷1=4.5，
综上所述，t的值为2或6或3.5或4.5．
故答案为：2或6或3.5或4.5．
点评：
本题考点： 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．
考点点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形，难点在于分情况讨论．