(1) 关键是下图.
AG,BG,CG分别交直线AB,BC,CA于D,E,F.
则D是BC中点当且仅当EF // BC.
证明可使用Ceva定理及其逆定理.
用Ceva定理之逆可以反过来由平行证明中点,这里暂且省略,
由此可得作图法如下:
先用平行条件作中点:
1.任取直线M上两点B,C,设直线AB,AC分别交L于F,E.
2.作直线BE,CF,得到交点G.
3 作直线AG交直线M于D,则由M // L,可知D是BC中点.
接下来用中点作平行:
4.作直线DF交直线AC于P.
5.作直线BP交CF于Q.
6.作直线AQ,则由D是BC中点,可知AQ // BC // L.
(2) 关键是下图.
由BC是直径,有CF ⊥ AB,BE ⊥ AC.
于是CF与BE的交点H是△ABC的垂心,可得AH ⊥ BC.
作图法如下:
1.作直线AB,AC,分别于圆交于B,C以外的点F,E.
2.作直线BE,CF,得到交点H.
3.作直线AH,则AH ⊥ BC.