Question

直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,点E在AB上,点F在AD的延长线上,CD的垂直平分EF,交EF于G

Answer 1

（1）过点A作AE⊥BC,

在Rt△ABE中,由AB=5,cosB= 35,得BE=3,

∵CD⊥BC,AD‖BC,BC=6

∴AD=EC=BC-BE=3

当BO=AD=3时,在⊙O中,过点O作OH⊥AB,则BH=HP,

∵ BHBO=cosB

∴BH= 3×35=95

∴BP= 185；

（2）不存在BP=MN的情况．

假设BP=MN成立,

因为BP和MN为⊙O的弦,则必有∠BOP=∠DOC,

过P作PQ⊥BC,过点O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC,则有△PQO∽△DOC

设BO=x,则PO=x,由 BHx=cosB=35,得BH= 35x,

∴BP=2BH= 65x

∴BQ=BP×cosB= 1825x,PQ= 2425x

∴OQ= x-1825x=725x

∵△PQO∽△DOC

∴ PQOQ=DCOC,即 2425x725x=46-x

得 x=296

当 x=296时,BP= 65x= 295＞5=AB,与点P应在边AB上不符,

∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切,此时0＜CN＜6；

情况二：⊙O与⊙C相内切,此时0＜CN≤ 73．