Question

（2014•江西模拟）无穷数列{an}的前n项和Sn=npan（n∈N*），并且a1≠a2．

Answer 1

（1）∵a₁=S₁=pa₁∴a₁≠0，且p=1，或a₁=0．

若是a₁≠0，且p=1，则由a₁+a₂=S₂=2pa₂．

∴a₁=a₂，矛盾．故不可能是：a₁≠0，且p=1．由a₁=0，得a₂≠0．

又a₁+a₂=S₂=2pa₂，∴p＝

1

2．

（2）∵Sn+1＝

1

2(n+1)an+1，Sn＝

1

2nan，

∴an+1＝

1

2(n+1)an+1−

1

2nan．（n-1）a_n+1=na_n．

当k≥2时，

ak+1

ak＝

k

k−1．

∴n≥3时有an＝

an

an−1•

an−1

an−2•…•

a3

a2•a2=[n−1/n−2•

n−2

n−3•…•

2

1•a2＝(n−1)a2．

∴对一切n∈N^*有：a_n=（n-1）a₂．

（3）∵45＝S10＝10×

1

2×a10＝45a2，

∴a₂=1． a_n=n-1（n∈N^*）．

故f（x）=x+2x²+…+nxⁿ．

∴f(

1

3)＝

1

3+

2

32+…+

n

3n]．

又3•f(

1

3)＝

2

3+

3

32+…+

n

3n−1+1．

∴2•f(