解题思路:(1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动,至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加,没有女生去参加,根据古典概型和对立事件的概率公式得到结果.
(2)列出关于f(x)的解析式,展开组合数整理成关于变量的一元三次函数形式,根据自变量的取值范围,对于一元三次函数求解,借助于导数求最值.
(1)由题意知本题是一个古典概型,
∵试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动共有C103种结果,
至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加,没有女生去参加共有C103-C53种结果,
∴根据古典概型和对立事件的概率公式得到
f(5)=
C310−
C35
C310=
11
12,
(2)f(x)=
C310−
C3x
C310=1−
1
720(x3−3x2+2x)3≤x≤10,x∈N,
则f′(x)=−
1
720(3x2−6x+2)=−
1
720[3(x−1)2−1],
x∈[3,10]3(x-1)2-1>0恒成立,∴f′(x)在x∈[3,10]上恒小于0,
∴f(x)在[3,10]上为减函数.
∴f(3)最大,
∴f(x)的最大值是
C310−
C33
C310=1.
点评:
本题考点: 排列、组合及简单计数问题;函数的最值及其几何意义;等可能事件的概率.
考点点评: 本题考查等可能事件的概率和导数,是一个综合题,可以作为高考题,对立事件包含于互斥事件,是对立事件一定是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件,认识两个事件的关系,是解题的关键.