振华中学有一个研究性学习小组共有10名同学,其中男同学x名,现要选出3人去参加某项调查活动,若至少有一名女生去参加的概率

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  • 解题思路:(1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动,至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加,没有女生去参加,根据古典概型和对立事件的概率公式得到结果.

    (2)列出关于f(x)的解析式,展开组合数整理成关于变量的一元三次函数形式,根据自变量的取值范围,对于一元三次函数求解,借助于导数求最值.

    (1)由题意知本题是一个古典概型,

    ∵试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动共有C103种结果,

    至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加,没有女生去参加共有C103-C53种结果,

    ∴根据古典概型和对立事件的概率公式得到

    f(5)=

    C310−

    C35

    C310=

    11

    12,

    (2)f(x)=

    C310−

    C3x

    C310=1−

    1

    720(x3−3x2+2x)3≤x≤10,x∈N,

    则f′(x)=−

    1

    720(3x2−6x+2)=−

    1

    720[3(x−1)2−1],

    x∈[3,10]3(x-1)2-1>0恒成立,∴f′(x)在x∈[3,10]上恒小于0,

    ∴f(x)在[3,10]上为减函数.

    ∴f(3)最大,

    ∴f(x)的最大值是

    C310−

    C33

    C310=1.

    点评:

    本题考点: 排列、组合及简单计数问题;函数的最值及其几何意义;等可能事件的概率.

    考点点评: 本题考查等可能事件的概率和导数,是一个综合题,可以作为高考题,对立事件包含于互斥事件,是对立事件一定是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件,认识两个事件的关系,是解题的关键.